Классификация систем по виду формализованного аппарата представления —
детерминированные и стохастические
Детерминированные и стохастические системы
Если
внешние воздействия, приложенные к системе (управляющие и возмущающие) являются
определенными известными функциями времени u=f(t). В этом случае состоянии системы описываемой
обыкновенными дифференциальными уравнениями, в любой момент времени t может быть однозначно описано по состоянию системы в
предшествующий момент времени. Системы для которых состояние системы однозначно
определяется начальными значениями и
может быть предсказано для любого момента времени называются
детерминированными.
Стохастические
системы - системы изменения в которых носят случайный характер. Например
воздействие на энергосистему различных пользователей. При случайных
воздействиях данных о состоянии системы недостаточно для предсказания в
последующий момент времени.
Случайные
воздействия могут прикладываться к системе из вне, или возникать внутри
некоторых элементов (внутренние шумы).
Исследование систем при наличии случайных воздействий можно проводить
обычными методами, минимизировав шаг моделирования чтобы не пропустить влияния
случайных параметров. При этом так как максимальное значение случайной величины
встречается редко (в основном в технике преобладает нормальное распределение),
то выбор минимального шага в большинстве моментов времени не будет обоснован.
В
подавляющем большинстве случаев при проектировании систем закладываются не
максимальным а наиболее вероятным значением случайного параметра. В этом случае
поучается более рациональная система, заранее предполагая ухудшение работы
системы в отдельные промежутки времени. Например установка катодной защиты.
Расчет
систем при случайных воздействиях производится с помощью специальных
статистических методов. Вводятся оценки случайных параметров, выполненные на
основании множества испытаний. Например карта поверхности уровня грунтовых вод
СПб.
Статистические
свойства случайной величины определяют по ее функции распределения или
плотности вероятности.
Детерминированная система без последствий
Детерминированная
система без последствий - система состояние которой z(t) зависит
только от z(t0) и не зависит от z(0) ... z(t0), т.е. z(t) зависит от z(t0) и не зависит от того каким способом система попала
в состояние z(t0).
Для систем
без последствия еее состояние можно описать как:
z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, xL]t0t},
где {(t, xL]t0t} - множество всевозможных отрывков
входных сообщений, соответствующих интервалу (t0, t]. H - оператор переходов системы.
tÎT, t0ÎT, z(t0) ÎZ, (t, xL]t0tÎ {(t, xL]t0t}.
Формальная
запись отображения:
T ´
T ´
{(t, xL]t0t} ®
Z.
Начальные
условия H{t0, t0, z(t0), (t, xL]t0t0 } = z(t0).
Если (t, xL1]t0t = (t, xL2]t0t, то H{t0, t, z(t0), (t, xL1]t0t } = H{t0, t, z(t0), (t, xL2]t0t}
Если t0<t1<t2 и t0, t1, t2 Î
T,
то H{t0, t2, z(t0), (t, xL]t0t2 } = H{t2, t1, z(t1), (t, xL2]t1t2}, так как (t, xL]t0t2 есть
сочленение отрезков (t, xL]t0t1 и (t, xL]t1t2.
Оператор
выходов системы G реализует
отношение
{(t, t0)} ´
Z ´
(t, xL)T} ®
Y,
y(t) = G(t, t0, z(t0), (t, xL2]t0t).
(x, y) Î
X ´
Y - расширенное состояние системы.
Динамическая система без
последствий (динамическая система Кламана) -упорядоченное множество (T, X, Z, Y, {(t, xL)T, H, G),
удовлетворяющие поставленным выше требованиям:
1.
T является
подмножеством действительных чисел.
2.
{(t, xL)T}- множество отображений T®X, удовлетворяющие сочленению отрезков.
3.
Оператор переходов H реализует {(t, t0)} ´
Z ´
(t, xL)T} ®
Y.
4.
Оператор выходов системы G задается видом y(t) = G(t, t0, z(t0), (t, xL2]t0t).
Детерминированные системы без последствия с входными сигналами двух классов
Расширение
понятие системы идет по трем путям:
1.
учет специфики воздействий;
2.
учет последствий;
3.
учет случайных факторов.
Учет специфики воздействий
Вводится
понятие управляющих сигналов u
Î U; u=M(t), или если
сигнал u Î
U описывается набором характеристик.
U = U1 ´
U2 ´
UL.
Отличие от
предыдущего случая, то что множество моментов времени tu и tx могут не
совпадать.
Вводится
расширенное множество X*= X ´
U, таким образом состояние системы
описывается вектором x = (x, u) = (x1, x2, .... , xn, u1, u2, .... , uL).
Рис.
С учетом
этого предыдущие формулы приобретают вид.
оператор
переходов:
z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, xL, uM]t0t}, или
z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, xL]t0t, (t, uM]t0t }, что соответствует отображению
T ´
T ´
{(t, xL]T}´
{(t, uM]T}
® Z.
Детерминированные системы с последствием
Большой
класс систем характеризуется тем, что для представления их состояния необходимо
знать состояние системы на некотором
множестве моментов времени.
z(t)= H{t,(tB0, zw)t0, (t, xL]t0t, (t, uM]t0t },
{(t, t0)} ´ {(tB0, zw)t0} ´
Z ´
{(t, xL]T}
® Z.
Где {(tB0, zw)t0} -
семейство всевозможных состояний системы.
Стохастические системы
Системы функционирующие
под воздействием случайных факторов, называются стохастическими. Для их
описания вводится случайный оператор:
w Î W - пространство элементарных
событий с вероятностной мерой P(A).
Случайный
оператор H1, переводящий
множество X в
множество Z:
z = H1(x, w),
реализующий отображение множества W в множество {X®Z }
Оператор
переходов будет представлен соответственно:
z(t)= H1{t,t0,z(t0, w0), (t, xL]t0t, w`},
y(t) = G1(t, z(t), w`` ).
Где w0, w’, w’’ - выбираются из W в соответствии с P0(A), Px(A), Py(A).
При
фиксированных w’, w’’ - система со случайными
начальными состояниями.
При фиксированных w0, w’’ - система со случайными
переходами.
При
фиксированных w0, w’ - система со случайными
выходами.
